gyrovector 空閒
gyrovector space
$ (G,\oplus_{:G\times G\to G})は以下を滿たすならば gyro 群である 左 loop (準群) : 左單位元$ \forall a_{\in G}~0\oplus a=aが有り、左逆元$ \forall a_{\in G}\exist\ominus a_{\in G}~(\ominus a)\oplus a=0を有つ 右 loop (準群) : 右單位元$ \forall a_{\in G}~a\oplus 0=aが有り、右逆元$ \forall a_{\in G}\exist\ominus a_{\in G}~a\oplus(\ominus a)=0を有つ 各要素$ a ,$ b に就いて magma 自己同型 (gyro 自己同型 (gyroautomorphism)) である$ {\rm gyr}[a,b]:G\to G,c\mapsto{\rm gyr}[a,b] c が定まる gyrator$ {\rm gyr}:G\times G\to{\rm Aut}(G)
gyro 結合律$ a\oplus(b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus{\rm gyr}[a,b]c
gyrator の左 loop 性$ {\rm gyr}[a,b]={\rm gyr}[a\oplus b,b]
兩單位元・兩逆元を有ち、gyrator が恆等寫像を生成する$ {\rm gyr}:G\times G\mapsto{\rm id} ならば群である 恆等式
gyration$ {\rm gyr}[u,v]w=\ominus(u\oplus v)\oplus(u\oplus(v\oplus w))
左 gyro 結合性$ u\oplus(v\oplus w)=(u\oplus v)\oplus{\rm gyr}[u,v]w
右 gyro 結合性$ (u\oplus v)\oplus w=u\oplus(v\oplus{\rm gyr}[v,u]w)
gyro 可換 gyro 群 (gyrocommutative gyrogroup)
gyro 可換律 (gyrocommutative)$ a\oplus b={\rm gyr}[a,b](b\oplus a)
餘和 (coaddition)$ a\boxplus b:=a\oplus{\rm gyr}[a,\ominus b]b